7 LTI-DT Systems in the Transform Domain
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章节目录
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- 7-1 基于幅度特性的传递函数分类 Transfer Function Classification Based on Magnitude Characteristics
- 7-2 基于相位特性的传递函数分类 Transfer Function Classification Based on Phase Characteristics
- 7-3 线性相位 FIR 传递函数类型 Types of Linear-Phase FIR Transfer Functions
- 7-4 简单数字滤波器 Simple Digital Filters
7-1 基于幅度特性的传递函数分类 Transfer Function Classification Based on Magnitude Characteristics
7-1-1 传递函数分类 Types of Transfer Functions
第 6 章已经把 LTI-DT 系统写成了传递函数：
只要单位圆落在 ROC 内，频率响应就可以由
因此，数字滤波器可按以下两类频域特性分类：
- 幅度特性 Magnitude Characteristics：由
描述频率成分的通过与抑制； - 相位特性 Phase Characteristics：由
描述各频率分量的相位延迟。
第 6 章中的 FIR / IIR 分类基于冲激响应长度，本章的分类基于频域特性。
7-1-2 理想幅度响应数字滤波器 Digital Filters with Ideal Magnitude Responses
理想数字滤波器 Ideal Digital Filter
理想数字滤波器 Ideal Digital Filter 指幅度响应在通带 Passband 内精确为 1，在阻带 Stopband 内精确为 0，并且过渡带 Transition Band 宽度为 0 的滤波器。
四类基本理想幅度响应如下。
以理想低通为例：
由 IDTFT 可得其冲激响应：
这个结果是无限长的双边序列，且关于
实际滤波器只能逼近理想响应，指标通常写成：
- 通带纹波 Passband Ripple：
； - 阻带纹波 Stopband Ripple：
； - 通带边缘 Passband Edge：
； - 阻带边缘 Stopband Edge：
； - 过渡带宽度 Transition Bandwidth：
过渡带越窄、纹波越小，滤波器阶数通常越高。
7-1-3 有界实传递函数 Bounded Real Transfer Functions
有界实传递函数 Bounded Real Transfer Function
若稳定因果系统的频率响应满足
则称
由
以及 Parseval 关系可知：
BR 系统不会增加输入信号的总能量。
无损有界实传递函数 Lossless Bounded Real Transfer Function
若稳定因果系统满足
则称
LBR 不改变幅度，只改变相位。全通传递函数是常见的 LBR。
PROBLEM L7-E1
设一阶 IIR 系统
求其成为 BR 系统的条件。
SOLUTION
单位圆上有
分母最小值为
因此 BR 条件为：
其中：
因此该条件应写成
7-1-4 全通传递函数 Allpass Transfer Functions
全通传递函数 Allpass Transfer Function
若稳定因果系统满足
则称
一阶实系数全通系统可写成：
极点在
此时极点在
全通系统的零点与极点满足上述镜像关系。
对于
源教材中把分母多项式的镜像写作
则镜像多项式为：
于是：
镜像多项式对应的零点就是
在单位圆上有：
因此：
更一般地，稳定全通函数满足：
全通系统的幅度恒为 1，但相位通常不是 0。它常用于群延迟均衡 Group-Delay Equalization。
若
群延迟则直接相加：
对于任意稳定因果系统，单位圆外零点对应的因子可分解为全通部分：
其中
7-2 基于相位特性的传递函数分类 Transfer Function Classification Based on Phase Characteristics
7-2-1 相位延迟与波形失真 Phase Delay and Waveform Distortion
对复指数输入
LTI 系统的输出为
其中
若不同频率分量经历不同的相位延迟，叠加后的波形会改变。
定义相位延迟 Phase Delay：
定义群延迟 Group Delay：
若
则
所有频率分量都延迟
7-2-2 零相位传递函数 Zero-Phase Transfer Functions
零相位传递函数 Zero-Phase Transfer Function
若
且频率响应为实偶函数，则称
零相位系统不会造成相位延迟，典型冲激响应满足偶对称：
这类系统通常是非因果的。实时系统通常不能直接实现零相位滤波，但离线处理中可以用前向-反向滤波构造：
在单位圆上：
该关系对应信号处理软件中的 zero-phase filtering。
对应流程是：
对于实值有限长输入，有：
7-2-3 最小相位与最大相位 Minimum-Phase and Maximum-Phase Transfer Functions
稳定因果 IIR 系统的极点都在单位圆内。零点的位置则决定了相位类型。
最小相位传递函数 Minimum-Phase Transfer Function
若稳定因果系统的所有零点也都在单位圆内，则称其为最小相位传递函数 Minimum-Phase Transfer Function。
最大相位传递函数 Maximum-Phase Transfer Function
若稳定因果系统的所有零点都在单位圆外，则称其为最大相位传递函数 Maximum-Phase Transfer Function。
若零点既有单位圆内的，也有单位圆外的，则称为混合相位 Mixed-Phase。
同一个幅度响应可以对应多个相位响应。常用处理方法是将单位圆外零点反射到单位圆内，并乘上全通因子以保持幅度响应不变。
例如零点
其中
最小相位系统在同幅度响应中具有最小相位延迟，也具有最短的能量集中时间。
7-2-4 线性相位传递函数 Linear-Phase Transfer Functions
线性相位传递函数 Linear-Phase Transfer Function
若系统相位可以写成
则称该系统具有线性相位 Linear Phase。
线性相位的群延迟为常数：
它仅引入整体延迟，不改变波形中各频率分量的相对位置。
理想低通的冲激响应以
对于理想低通：
若 FIR 长度为
这也是线性相位 FIR 中常见的群延迟。
截断后可写成：
7-3 线性相位 FIR 传递函数类型 Types of Linear-Phase FIR Transfer Functions
7-3-1 对称性与线性相位条件 Symmetry Conditions for Linear Phase
FIR 传递函数为：
若它具有线性相位，则频率响应可写成：
其中
或
第一类称为对称 Symmetric，第二类称为反对称 Antisymmetric。
IMPORTANT
在线性相位 FIR 中，
7-3-2 四类线性相位 FIR Four Types of Linear-Phase FIR
线性相位 FIR 有四种类型。
| 类型 | 对称性 | 阶数 | 长度 | 强制零点 |
|---|---|---|---|---|
| Type I | 偶数 | 奇数 | 无 | |
| Type II | 奇数 | 偶数 | ||
| Type III | 偶数 | 奇数 | ||
| Type IV | 奇数 | 偶数 |
对应的冲激响应形状如下。
Type I 约束最少，可用于低通、高通、带通和带阻滤波器。Type II 在
进一步，
| 类型 | ||
|---|---|---|
| Type I | 偶数个或无 | 偶数个或无 |
| Type II | 偶数个或无 | 奇数个 |
| Type III | 奇数个 | 奇数个 |
| Type IV | 奇数个 | 偶数个或无 |
四类的实幅度函数可按余弦或正弦项展开：
| 类型 | 实幅度函数形式 |
|---|---|
| Type I | |
| Type II | |
| Type III | |
| Type IV |
反对称情况下，实际频率响应会多出
7-3-3 线性相位 FIR 的零点位置 Zero Locations of Linear-Phase FIR
线性相位 FIR 的零点成组出现。
若
对于实系数 FIR，共轭对称来自实系数；对于线性相位，倒数对称来自
特别地：
- 单位圆上的零点只需要共轭成对；
- 实轴上的零点只需要倒数成对；
PROBLEM L7-E2
某 FIR 滤波器为实系数线性相位系统，已知一个零点为
求必须同时出现的零点。
SOLUTION
实系数给出共轭零点：
线性相位给出倒数零点：
再对倒数零点取共轭：
因此四个零点为：
7-4 简单数字滤波器 Simple Digital Filters
7-4-1 简单 FIR 数字滤波器 Simple FIR Digital Filters
最简单的 FIR 滤波器通常由少量零点配置构成。
1. 两点平均器
其零点在
单位圆上：
因此：
2. 两点差分器
其零点在
单位圆上：
3. 二阶陷波器
若要在
即：
这类 FIR notch 的零点在单位圆上，陷波位置准确，但邻近频率处的过渡通常较缓。
若表达式取正号：
则对应的零点在
4. 梳状滤波器
把两点平均器中的
该形式会在单位圆上产生周期性零点，因此称为梳状滤波器 Comb Filter。
7-4-2 简单 IIR 数字滤波器 Simple IIR Digital Filters
IIR 滤波器通过极点增强某些频率附近的响应。极点越靠近单位圆，响应越尖锐，但稳定裕量越小。
一个简单的一阶低通可写为：
它有一个位于
当
一个简单的一阶高通可写为：
其中
二阶带通可以写作：
二阶带阻可以写作：
这里
源稿给出的带宽关系为：
TIP
FIR 主要通过零点抑制指定频率；IIR 可同时利用极点增强邻近频率响应，因此过渡特性通常更灵活。